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1. 等宽位－片元件折叠 定义r1 = rn+1 =0。由元件Ci 至Cj 构成的栈的高度要求为j ?k= ilk+ ri+ rj + 1。设一个位－片设计中所有元件有相同宽度W。首先考察在折叠矩形的高度H给定的情况下，如何缩小其宽度。设Wi 为将元件Ci 到Cn 折叠到高为H的矩形时的最小宽度。若折叠不能实现（如当ri +hi＞H时），取Wi =∞。注意到W1 可能是所有n 个元件的最佳折叠宽度。 当折叠Ci 到Cn 时，需要确定折叠点。现假定折叠点是按栈左到栈右的顺序来取定的。若第一点定为Ck+ 1，则Ci 到Ck 在第一个栈中。为了得到最小宽度，从Ck+1 到Cn 的折叠必须用最优化方法，因此又将用到最优原理，可用动态规划方法来解决此问题。当第一个折叠点k+ 1已知时，可得到以下公式： Wi =w+ Wk + 1 （1 5 - 9） 由于不知道第一个折叠点，因此需要尝试所有可行的折叠点，并选择满足（ 1 5 - 9）式的折叠点。令h s u m(i,k)=k ?j = ihj。因k+ 1是一个可行的折叠点，因此h s u m(i, k) +ri +rk+1 一定不会超过H。 根据上述分析，可得到以下动态规划递归式： 这里Wn+1 =0，且在无最优折叠点k+ 1时Wi 为∞。利用递归式（1 5 - 1 0），可通过递归计算Wn , Wn- 1., W2 , W1 来计算Wi。Wi 的计算需要至多检查n-i+ 1个Wk+ 1，耗时为O (n-k)。因此计算所有Wi 的时间为O (n2 )。通过保留式（1 5 - 1 0）每次所得的k 值，可回溯地计算出各个最优的折叠点，其时间耗费为O (n)。 现在来考察另外一个有关等宽元件的折叠问题：折叠后矩形的宽度W已知，需要尽量减小其高度。因每个折叠矩形宽为w，因此折叠后栈的最大数量为s=W / w。令Hi, j 为Ci , ., Cn 折叠成一宽度为jw 的矩形后的最小高度， H1, s 则是所有元件折叠后的最小高度。当j= 1时，不允许任何折叠，因此：Hi,1 =h s u m(i,n) +ri , 1≤i≤n 另外，当i=n 时，仅有一个元件，也不可能折叠，因此：Hn ,j=hn+rn , 1≤j≤s 在其他情况下，都可以进行元件折叠。如果第一个折叠点为k+ 1，则第一个栈的高度为 h s u m(i,k) +ri +rk+ 1。其他元件必须以至多(j- 1 ) *w 的宽度折叠。为保证该折叠的最优性，其他元件也需以最小高度进行折叠. 因为第一个折叠点未知，因此必须尝试所有可能的折叠点，然后从中找出一个使式（1 5 - 11）的右侧取最小值的点，该点成为第一个折叠点。 可用迭代法来求解Hi, j ( 1≤i≤n, 1≤j≤s)，求解的顺序为：先计算j=2 时的H i, j，再算j= 3，.，以此类推。对应每个j 的Hi, j 的计算时间为O (n2 )，所以计算所有H i, j 的时间为O(s n2 )。通过保存由（ 1 5 - 1 2）式计算出的每个k 值，可以采用复杂性为O (n) 的回溯过程来确定各个最优的折叠点。 2. 变宽位－片元件的折叠 首先考察折叠矩形的高度H已定，欲求最小的折叠宽度的情况。令Wi 如式（1 5 - 1 0）所示，按照与（1 5 - 1 0）式相同的推导过程，可得： Wi = m i n {w m i n(i, k) +Wk+1 | h s u m(i,k)+ ri +rk+ 1≤H, i≤k≤n} （1 5 - 1 3） 其中Wn+1=0且w m i n(i,k)= m ini≤j≤k{wj }。可用与（1 5 - 1 0）式一样的方法求解（1 5 - 1 3）式，所需时间为O(n2 )。 当折叠宽度W给定时，最小高度折叠可用折半搜索方法对超过O(n2 )个可能值进行搜索来实现，可能的高度值为h(i,j)+ri +rj + 1。在检测每个高度时，也可用（ 1 5 - 1 3）式来确定该折叠的宽度是否小于等于W。这种情况下总的时间消耗为O (n2 l o gn)。 3. 标准单元折叠 用wi 定义单元Ci 的宽度。每个单元的高度为h。当标准单元行的宽度W 固定不变时，通过减少折叠高度，可以相应地减少折叠面积。考察Ci 到Cn 的最小高度折叠。设第一个折叠点是Cs+ 1。从元件Cs+1 到Cn 的折叠必须使用最小高度，否则，可使用更小的高度来折叠Cs+1 到Cn，从而得到更小的折叠高度。所以这里仍可使用最优原理和动态规划方法。 令Hi , s 为Ci 到Cn 折叠成宽为W的矩形时的最小高度，其中第一个折叠点为Cs+ 1。令w s u m(i, s)=s ?j = iwj。可假定没有宽度超过W的元件，否则不可能进行折叠。对于Hn,n 因为只有一个元件，不存在连线问题，因此Hn, n =h。对于H i, s（1≤i＜s≤n）注意到如果w s u m(i, s )＞W，不可能实现折叠。若w s u m(i,s)≤W，元件Ci 和C j + 1 在相同的标准单元行中，该行下方布线通道的高度为ls+ 1（定义ln+1 = 0）。因而：Hi, s = Hi+1, k （1 5 - 1 4） 当i=s＜n 时，第一个标准单元行只包含Ci 。该行的高度为h 且该行下方布线通道的高度为li+ 1。因Ci+ 1 到Cn 单元的折叠是最优的. 为了寻找最小高度折叠，首先使用式（ 1 5 - 1 4）和（1 5 - 1 5）来确定Hi, s （1≤i≤s≤n）。最小高度折叠的高度为m in｛H1 , s｝。可以使用回溯过程来确定最小高度折叠中的折叠点。 |
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